Bei Ganzrationalen Funktionen ist der Funktionswert (y) eine Formel, die nur aus Addition, Subtraktion und Multiplikation einer Variablen (normalerweise x) und Zahlen besteht. Die Variable x hat dabei immer eine ganze Zahl als Potenz.
Ein Beispiel für eine ganzrationale Funktion ist die Funktion f(x) = 2x3 - 4x2 + x + 5. Hier siehst du, dass x verschiedene Potenzen hat (3, 2 und 1) und mit verschiedenen Zahlen (2, -4 und 1) multipliziert wird. Am Ende werden alle diese Teile addiert oder subtrahiert, um den Wert von f(x) zu berechnen.
Solche mathematische Ausdrücke, die aus mehreren Teilen besteht, die durch Addition oder Subtraktion verbunden sind, werden Polynome genannt. Jeder dieser Teile des Polynoms wird Term genannt. Polynome enthalten keine Wurzeln, Brüche oder negative Potenzen in den Termen.
Ganzrationale Funktionen sind also eine spezielle Art von Funktionen, die durch Polynome dargestellt werden können. Das bedeutet, dass jede ganzrationale Funktion in der Form
f(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0
geschrieben werden kann. n gibt dabei den Grad des Polynoms an.
Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion hängt von ihrem Grad und ihren Koeffizienten ab, ist jedoch auf jeden Fall stetig. Es beinhaltet also keine Lücken oder Sprünge.
Die Kurve kann je nach den Koeffizienten der Funktion unterschiedliche Formen haben. Wenn der Grad der Funktion gerade ist und der führende Koeffizient positiv ist, dann hat die Kurve in der Mitte des Schaubilds eine nach oben geöffnete Parabel-Form. Ist der führende Koeffizient negativ, so ist die Parabel nach unten geöffnet.
Ist der Grad der Funktion ungerade, so gibt es mindestens einen Wendepunkt und es sind eine Vielzahl von Formen möglich. Wenn der führende Koeffizient positiv ist, dann hat die Kurve eine steigende und eine fallende Seite, die sich um den Wendepunkt biegen. Ist der führende Koeffizient negativ, dann verläuft die Kurve absteigend und anschließend aufsteigend um den Wendepunkt herum.
Zusätzlich können noch Nullstellen, Extremstellen oder waagerechte Asymptoten im Schaubild einer ganzrationalen Funktion vorkommen, abhängig von den Koeffizienten und dem Grad der Funktion. Ganzrationale Funktionen eigenen sich deshalb hervorragend für eine Kurvendiskussion, also der systematischen Untersuchung von Funktionen.
Die Ableitungen von ganzrationalen Funktionen können berechnet werden, indem man die Potenz jedes Terms im Polynom um 1 verringert und den Koeffizienten des entsprechenden Terms mit dem neuen Exponenten multipliziert. Mit Hilfe der Ableitungen können die Steigungen und Krümmungen der Kurve bestimmt und somit die lokalen Extremstellen und Wendepunkte der Funktion gefunden werden..
Die Nullstellen von Ganzrationalen Funktionen können durch Polynomdivision oder durch Anwendung des Satzes von Vieta gefunden werden.