Funktionen der Form
nennt man Potenzfunktionen (n-ten Grades).
Im Sonderfall a = 1 gilt:
n ∈ ℕgerade: W = [ 0 ; +∞ ] der Graph ist symmetrisch zur y-Achse |
n ∈ ℕungerade: W = ℝ der Graph ist symmetrisch zum Punkt (0;0) |
Ein Term der Art p(x) = - 3x7 + 2x5 + 0,67x4 - 2x3 - x +1 heißt Polynom.
Der „Grad des Polynoms“ ist der höchste vorkommende Exponent.
Beispiel:
p(x) = - 3x7 + 2x5 + 0,67x4 - 2x3 - x +1 hat den Grad 7.
Die Funktion p: x ↦ p(x) heißt Polynomfunktion oder ganzrationale Funktion.
Ist a eine Nullstelle einer ganzrationalen Funktion f vom Grad n, dann lässt sich f(x) in der Form
f(x) = (x - a) ∙ g(x) schreiben, wobei g(x) ein Polynom vom Grad n-1 ist.
g(x) erhält man durch Polynomdivision.
Zahlenbeispiel:
f(x) = x3 + 5x2 + 7 x + 2 hat bei x = -2 eine Nullstelle.
Also gilt f(x) = x3 + 5x2 + 7 x + 2 = ( x + 2 ) ∙ g(x)
g(x) wird durch folgende Rechnung ermittelt:
Nach dieser Methode lässt sich ein Polynom vollständig faktorisieren.
Zahlenbeispiel:
Das vollständig faktorisierte Polynom f(x) = (x -1)3 ∙ (x + 4)2 ∙ (x - 7) ∙ (x2 + 2) hat die dreifache Nullstelle x1 = +1 , die doppelte Nullstelle x2 = -4
und die einfache Nullstelle x3 = +7 .
fneu (x) = f (x + a) + b
Der Graph von f wird um –a in x-Richtung und um b in y-Richtung verschoben.
Beispiel:
Strecken von Funktionsgraphen
fneu (x) = k ∙ f (x) , wobei k > 0
Der Graph von f wird y-Richtung mit dem Faktor k gestreckt.
fneu (x) = f (k ∙ x) , wobei k > 0
Der Graph von f wird x-Richtung mit dem Faktor k gestreckt.
Beispiel:
fneu (x) = - f (x) : der Graph wird an der x-Achse gespiegelt.
fneu (x) = f (-x) : der Graph wird an der y-Achse gespiegelt.
f (-x) = f (x) für alle x ∈ Df ⇒ Gf ist symmetrisch zur Achse
f (-x) = - f (x) für alle x ∈ Df ⇒ Gf ist symmetrisch zum Koordinatenursprung
Kommen die Funktionswerte f(x) einer Funktion f für beliebig groß werdende x-Werte einer
Zahl a beliebig nahe, so sagt man „f hat für x gegen +∞ den Grenzwert a“ und man schreibt:
Entsprechend ist definiert.