Die Ganzen Zahlen

Online lernen:

Addieren und Subtrahieren

Betrag

Klammern

Multiplizieren und Dividieren

Negative Zahlen

Rechengesetze und Vorzeichenregeln bei + und -

Stellenwerttafel

Die Ganzen Zahlen

Negative Zahlen

———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+———+——>

  -6  -5  -4  -3  -2  -1   0  +1  +2  +3  +4  +5  +6  +7

Bei der Erweiterung des Zahlenstrahls zur Zahlengeraden kommen die negativen Zahlen hinzu.

  • Die bisherigen natürlichen Zahlen und die die negativen Zahlen bilden zusammen mit der Zahl 0 die Menge  der ganzen Zahlen.
  • Eine positive ganze Zahl ist dasselbe wie eine natürliche Zahl: +5 = 5
  • Das Vorzeichen "+" darf bei einer positiven Zahl weggelassen werden
  • Das Vorzeichen "-" muss bei einer negativen Zahl geschrieben werden
  • Um das Vorzeichen vom Operationszeichen zu unterscheiden, setzt man eine ganze Zahl in Klammern: (-8) + (-5)
  • Es gilt: -5 < -3, da -5 auf der Zahlengeraden links von -3 steht
  • a heißt Gegenzahl von a.
    Zahl und Gegenzahl haben vom Nullpunkt den gleichen Abstand; sie haben den gleichen Betrag.
    Beispiel: |-5| = |+5| = 5

Addieren und Subtrahieren

Addition ganzer Zahlen                                Subtraktion ganzer Zahlen

ausführlich:

vereinfacht:

ausführlich:

vereinfacht:

(+5)+(+3)=+8

5+3=8

(+5)-(+3)=+2

5-3=2

(+8)+(-5)=+3

8-5=3

(+5)-(-3)=+8

5+3=8

(-2)+(-5)=-7

-2-5=-7

(-5)-(+3)=-8

-5-3=-8

(+3)+(-7)=-4

3-7=-4

(-5)-(-3)=-2

-5+3=-2

Merkregeln:

+(+a) => +a

+(-a) => -a

-(-a) => +a

-(+a) => -a

Multiplizieren und Dividieren

Multiplikation ganzer Zahlen                                Division ganzer Zahlen

ausführlich:

vereinfacht:

ausführlich:

vereinfacht:

(+5)·(+3)=+15

5·3=15

(+12):(+3)=+4

12:3=4

(-8)·(+5)=-40

(-8)·5=-40

(-15):(+3)=-5

(-15):3=-5

(+3)·(-7)=-21

3·(-7)=-21

(+24):(-8)=-3

24:(-8)=-3

(-2)·(-5)=+10

(-2)·(-5)=10

(-20):(-5)=+4

(-20):(-5)=4

Merkregeln:

+ mal + => +

+ mal - => -

+ durch + => +

+ durch - => -

- mal - => +

- mal + => -

- durch - => +

- durch + => -

Für alle x ≠ 0 gilt: 0 : x = 0

x : 0 ist nicht definiert (Durch 0 kann man nicht dividieren!!!)

Betrag

Klammern

Plusklammer

Bei einem Plus vor der Klammer darf man die Klammer einfach weglassen.

1. Beispiel:

1 + (2 + 3) = 1 + 2 + 3   (Assoziativgesetz)

2. Beispiel:

1 + (2 - 3) = 1 + 2 - 3

Minusklammer

Man darf das Minus vor der Klammer nur weggelassen, wenn dafür alle Vorzeichen in der Klammer umgekehrt werden.

Beispiel:

1 - (2 + 3)

Ausgangsgleichung: Vor der Klammer ist ein Minus.

So kann das Assoziativgesetz nicht angewendet werden.

=

1 + (-2 - 3)

Alle Plus und Minus in der Klammer werden umgedreht: Das heißt Plus wird zu Minus und Minus wird zu Plus. Außerdem wird das Minus vor der Klammer zu einem Plus.

=

1 + (-2 + (-3))

Differenz in Klammer wird durch eine Summe ersetzt.

=

1 + (-2) + (-3)

Nun kann man das Assoziativgesetz anwenden.

=

1 - 2 - 3

Im letzten Schritt wird noch vereinfacht.

Rechengesetze und Vorzeichenregeln bei + und -
Stellenwerttafel