Teilbarkeit natürlicher Zahlen
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Größter gemeinsamer Teiler
Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Primfaktorzerlegung
Primzahlen
Teilbarkeit durch 10
Teilbarkeit durch 2
Teilbarkeit durch 25
Teilbarkeit durch 3
Teilbarkeit durch 4
Teilbarkeit durch 5
Teilbarkeit durch 6
Teilbarkeit durch 9
Teilbarkeitsregeln
Teiler und Vielfache
13 Prüfungsfragen
aus Klassenarbeiten, Tests und Schulaufgaben
Aufgabe 1
Ermittle mit Hilfe der Primfaktorenzerlegung den ggT und das kgV der folgenden Zahlen!
| a) | 20 und 50 | ggT = | kgV = |
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| b) | 34 und 51 | ggT = | kgV = |
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| c) | 78; 156 und 416 | ggT = | kgV = |
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Aufgabe 2
Ermittle mit Hilfe der Primfaktorenzerlegung den ggT und das kgV der folgenden Zahlen!
| a) | 32 und 42 | ggT = | kgV = |
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| b) | 351 und 99 | ggT = | kgV = |
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| c) | 88; 144 und 198 | ggT = | kgV = |
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Aufgabe 3
Gib die folgenden Mengen an:
| a) | die Teilermenge von 42: T 42 = ______________________________ | |
| b) | die Vielfachmenge von 13 bis 100: V 13 (100) = ______________________________ | |
Aufgabe 4
Verwende die Teilbarkeitsregeln und kreuze an, wenn die Zahlen in der oberen Reihe Teiler der Zahlen in der linken Spalte sind.
| 2 | 3 | 4 | 5 | 9 | 10 | |
| 16540 | ||||||
| 379548 |
Aufgabe 5
Ergänze die fehlende Ziffer so, dass die Zahl …
| a) | 35 ___ 22 durch 9 teilbar ist. |
| b) | 567___ durch 4 teilbar ist. |
| c) | 3734___ durch 3 teilbar ist. |
Aufgabe 6
Setze (wenn möglich) für die Leerstellen passende Ziffern ein, so dass die Zahl dann durch die jeweils angegebene Zahl teilbar ist.
Aufgabe 7
Wie heißt jeweils die zu 107 nächstgelegene größere Zahl, die ...
| durch 2 teilbar ist: | ____________ |
| durch 9 teilbar ist: | ____________ |
| durch 25 teilbar ist: | ____________ |
Aufgabe 8
Wie heißt jeweils die zu 3491 nächstgelegene kleinere Zahl, die ...
| durch 3 teilbar ist: | ____________ |
| durch 4 teilbar ist: | ____________ |
| durch 5 teilbar ist: | ____________ |
Aufgabe 9
Zerlege in ein Produkt von lauter Primzahlen.
| a) |
60
_________________________________________________________________
|
| b) |
264
_________________________________________________________________
|
| c) |
630
_________________________________________________________________
|
Aufgabe 10
Berechne und achte dabei wenn möglich auf Rechenvorteile!
|
a) 5 ∙ 18 – 18 ∙ 4
_________________________
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b) 211 ∙ 17 + 789 ∙ 17
_________________________
|
| c) 134 – 34 ∙ 4 + 14²
_________________________
|
d) [ 620 – 28 ∙ 2 – 2 – 328 ] : 13
_________________________
|
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Klassenarbeiten.de - Teiler und Vielfache
Teilbarkeit natürlicher Zahlen
Rest bei einer Division
48 : 6 = 8 | ⇔ | 48 = 6 . 8 | a : b = c | ⇔ | a = b . c |
48 : 5 = 9 Rest 3 | ⇔ | 48 = 5 . 9 + 3 | a : b = c Rest d | ⇔ | a = b . c + d (wobei d<b) |
Teiler und Vielfache
Genau dann, wenn die Division zweier natürlicher Zahlen a : b den Rest 0 hat, sagt man:
"a ist ein Vielfaches von b" | oder | "a ist durch b teilbar" |
"b ist ein Teiler von a" | oder | "b ist in a enthalten" |
Teiler von 60:
60 = 1 · 60 = 2 · 30 = 3 · 20 = 4 · 15 = 5 · 12 = 6 · 10;
Die Teilermenge einer Zahl enthält alle ihre Teiler.
T60 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 }
Teilbarkeitsregeln
Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist, also ihre letzte Ziffer eine 2,4,6,8 oder 0 ist. |
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme, also die Summe all ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist. |
Eine Zahl ist durch 4 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 6 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 8 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 9 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 10 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 12 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 15 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 18 teilbar, |
Eine Zahl ist durch 20 teilbar, |
Teilbarkeit durch 11: (alternierende Quersumme bilden)
1595: | 5+5=10; 1+9=10; 10=10 | ⇒ 1595 ist durch 11 teilbar |
108641973: | 3+9+4+8+1=25; 7+1+6+0=14; 25-14=11 | ⇒ 108641973 ist durch 11 teilbar |
1459: | 9+4=13; 5+1=6; 6≠13 | ⇒ 1459 ist nicht durch 11 teilbar |
Primzahlen
Eine Zahl, deren Teilermenge genau zwei Elemente enthält, heißt Primzahl.
Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ...
Primfaktorzerlegung
Primfaktordarstellung
Jede Zahl lässt sich eindeutig in ein Produkt von Primzahlen zerlegen.
Bsp: 60 = 6 ⋅10 = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 5 ergibt die
Primfaktorzerlegung: 60 = 22 · 3 · 5
Primfaktorzerlegung von 360
360 | = 2 · 180 |
| = 2 · 2 · 90 |
| = 2 · 2 · 2 · 45 |
| = 2 · 2 · 2 · 3 · 15 |
| = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2³ · 3² · 5 |
Größter gemeinsamer Teiler
ggT - grösster gemeinsamer Teiler
Beispiel: ggT(462,630) = ?
Primfaktorzerlegungen:
462 = 2 · 3 · 7 · 11 = 2 · 3 · 7 · 11
630 = 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 · 3 · 3 · 5 · 7
ggT(462,630) = 2 · 3 · 7 = 42
Der ggT von natürlichen Zahlen ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren ihrer Zerlegungen.
Ist der ggT zweier Zahlen 1, so heißen sie teilerfremd.
Kleinstes gemeinsames Vielfaches
kgV - kleinstes gemeinsames Vielfaches
Beispiel: kgV(540,1320) = ?
Primfaktorzerlegungen:
540 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 = 22 · 33 · 5
1320 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 11 = 23 · 3 · 5 · 11
kgV(540,1320) = 23 · 33 · 5 · 11 = 11 880
Das kgV von natürlichen Zahlen ist das Produkt der höchsten Potenzen aller in den Zerlegungen vorkommenden Primfaktoren.