Teilbarkeit natürlicher Zahlen

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Größter gemeinsamer Teiler

Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Primfaktorzerlegung

Primzahlen

Teilbarkeit durch 10

Teilbarkeit durch 2

Teilbarkeit durch 25

Teilbarkeit durch 3

Teilbarkeit durch 4

Teilbarkeit durch 5

Teilbarkeit durch 6

Teilbarkeit durch 9

Teilbarkeitsregeln

Teiler und Vielfache

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13 Prüfungsfragen
aus Klassenarbeiten, Tests und Schulaufgaben

Aufgabe 1

Ermittle mit Hilfe der Primfaktorenzerlegung den ggT und das kgV der folgenden Zahlen!

a) 20 und 50 ggT = kgV =
 
b) 34 und 51 ggT = kgV =
 
c) 78; 156 und 416 ggT = kgV =
 

Aufgabe 2

Ermittle mit Hilfe der Primfaktorenzerlegung den ggT und das kgV der folgenden Zahlen!

a) 32 und 42 ggT = kgV =
 
b) 351 und 99 ggT = kgV =
 
c) 88; 144 und 198 ggT = kgV =
 

Aufgabe 3

Gib die folgenden Mengen an:

a) die Teilermenge von 42: T 42 =  ______________________________
b) die Vielfachmenge von 13 bis 100: V 13 (100) =  ______________________________

Aufgabe 4

Verwende die Teilbarkeitsregeln und kreuze an, wenn die Zahlen in der oberen Reihe Teiler der Zahlen in der linken Spalte sind.

  2 3 4 5 9 10
16540            
379548            

Aufgabe 5

Ergänze die fehlende Ziffer so, dass die Zahl …

a) 35 ___ 22 durch 9 teilbar ist.
b) 567___ durch 4 teilbar ist.
c) 3734___ durch 3 teilbar ist.

Aufgabe 6

Setze (wenn möglich) für die Leerstellen passende Ziffern ein, so dass die Zahl dann durch die jeweils angegebene Zahl teilbar ist.

Aufgabe 7

Wie heißt jeweils die zu 107 nächstgelegene größere Zahl, die ...

durch 2 teilbar ist: ____________
durch 9 teilbar ist: ____________
durch 25 teilbar ist: ____________

Aufgabe 8

Wie heißt jeweils die zu 3491 nächstgelegene kleinere Zahl, die ...

durch 3 teilbar ist: ____________
durch 4 teilbar ist: ____________
durch 5 teilbar ist: ____________

Aufgabe 9

Zerlege in ein Produkt von lauter Primzahlen.

a)
60
_________________________________________________________________
b)
264
_________________________________________________________________
c)
630
_________________________________________________________________

Aufgabe 10

Berechne und achte dabei wenn möglich auf Rechenvorteile!

a)  5 ∙ 18 – 18 ∙ 4
    _________________________
b)  211 ∙ 17 + 789 ∙ 17
    _________________________
c)  134 – 34 ∙ 4 + 14²
    _________________________
d)  [ 620 – 28 ∙ 2 – 2 – 328 ] : 13
    _________________________

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Klassenarbeiten.de - Teiler und Vielfache

Teilbarkeit natürlicher Zahlen

Rest bei einer Division

48 : 6 = 8

48 = 6 . 8

a : b = c

a = b . c

48 : 5 = 9 Rest 3

48 = 5 . 9 + 3

a : b = c Rest d

a = b . c + d (wobei d<b)

Teiler und Vielfache

Genau dann, wenn die Division zweier natürlicher Zahlen a : b den Rest 0 hat, sagt man:

"a ist ein Vielfaches von b"

oder

"a ist durch b teilbar"

"b ist ein Teiler von a"

oder

"b ist in a enthalten"

Teiler von 60:

60 = 1 · 60         = 2 · 30         = 3 · 20         = 4 · 15         = 5 · 12         = 6 · 10;  

Die Teilermenge einer Zahl enthält alle ihre Teiler.

T60 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 }

Teilbarkeitsregeln

Eine Zahl ist durch 2 teilbar,

wenn sie gerade ist, also ihre letzte Ziffer eine 2,4,6,8 oder 0 ist.

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, 

wenn ihre Quersumme, also die Summe all ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist.

Eine Zahl ist durch 4 teilbar,
wenn ihre letzten 2 Stellen durch 4 teilbar sind.

Eine Zahl ist durch 5 teilbar,
wenn ihre letzte Stelle eine 5 oder eine 0 ist.

Eine Zahl ist durch 6 teilbar,
wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist, also wenn sie gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist (s.o.).

Eine Zahl ist durch 8 teilbar,
wenn ihre letzten 3 Stellen durch 8 teilbar sind.

Eine Zahl ist durch 9 teilbar,
wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Eine Zahl ist durch 10 teilbar,
wenn ihre letzte Stelle eine 0 ist.

Eine Zahl ist durch 12 teilbar,
wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.

Eine Zahl ist durch 15 teilbar,
wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.

Eine Zahl ist durch 18 teilbar,
wenn sie durch 2 und durch 9 teilbar ist.

Eine Zahl ist durch 20 teilbar,
wenn ihre letzte Stelle eine 0 und ihre vorletzte Stelle gerade ist.  

Teilbarkeit durch 11: (alternierende Quersumme bilden)

1595:

5+5=10;   1+9=10;   10=10

⇒ 1595 ist durch 11 teilbar

108641973:

3+9+4+8+1=25;   7+1+6+0=14;   25-14=11

⇒ 108641973 ist durch 11 teilbar

1459:

9+4=13;   5+1=6;   6≠13

⇒ 1459 ist nicht durch 11 teilbar

Primzahlen

Eine Zahl, deren Teilermenge genau zwei Elemente enthält, heißt Primzahl.

Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ...

Primfaktorzerlegung

Primfaktordarstellung

Jede Zahl lässt sich eindeutig in ein Produkt von Primzahlen zerlegen.

Bsp:   60 = 6 ⋅10 = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 5    ergibt die  

Primfaktorzerlegung:   60 = 22 · 3 · 5

Primfaktorzerlegung von 360

360

= 2 · 180

 

= 2 · 2 · 90

 

= 2 · 2 · 2 · 45

 

= 2 · 2 · 2 · 3 · 15

 

= 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2³ · 3² · 5

Größter gemeinsamer Teiler

ggT - grösster gemeinsamer Teiler

Beispiel: ggT(462,630) = ?

Primfaktorzerlegungen:

462 = 2 · 3 · 7 · 11 = 2 · 3 · 7 · 11

630 = 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 · 3 · 3 · 5 · 7

ggT(462,630) = 2 · 3 · 7 = 42

Der ggT von natürlichen Zahlen ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren ihrer Zerlegungen.

Ist der ggT zweier Zahlen 1, so heißen sie teilerfremd.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches

kgV - kleinstes gemeinsames Vielfaches

Beispiel: kgV(540,1320) = ?

Primfaktorzerlegungen:

540 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 = 22 · 33 · 5

1320 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 11 = 23 · 3 · 5 · 11

kgV(540,1320) = 23 · 33 · 5 · 11 = 11 880

Das kgV von natürlichen Zahlen ist das Produkt der höchsten Potenzen aller in den Zerlegungen vorkommenden Primfaktoren.