Lineare Gleichungssysteme sind eine Sammlung von Gleichungen, die mehrere Unbekannte enthalten und gleichzeitig erfüllt sein müssen. Diese Unbekannten sind Variablen, die wir suchen müssen, um die Gleichungen zu lösen.
Jede Gleichung hat einen linken und einen rechten Teil, die jeweils durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind.
Ein Beispiel für ein lineares Gleichungssystem ist:
2x + 3y = 7
4x - 5y = 1
In diesem System gibt es zwei Gleichungen mit den Unbekannten x und y. Ziel ist es, Werte für x und y zu finden, die beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen.
Es gibt viele Anwendungen für lineare Gleichungssysteme in der Wissenschaft und in der Technik. Sie werden für die Lösung von Problemen benötigt, bei denen mehrere Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen. Mit dieser Technik können beispielsweise Produktionsmengen geplant oder Kosten minimiert werden.
In der Physik ist es möglich, mit linearen Gleichungssystemen Kräfte und Geschwindigkeiten zu berechnen oder Ströme und Spannungen in elektrischen Schaltungen zu analysieren.
Im Alltag benötigst du lineare Gleichungssysteme beispielsweise zum Lösen von Rätsel. Was dir durch Kopfrechnen kaum lösbar erscheint, kannst du plötzlich mit dem Aufstellen und Gleichsetzen von linearen Gleichungen lösen.
Es gibt mehrere Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme.
Beim Additionsverfahren wird eine der Gleichungen wird so umgeformt, dass eine Unbekannte in beiden Gleichungen das gleiche oder entgegengesetzte Vorzeichen hat. Dann werden die Gleichungen addiert oder subtrahiert, um eine Gleichung mit nur einer Unbekannten zu erhalten.
Beim Substitutionsverfahren wird eine der Gleichungen nach einer Unbekannten aufgelöst. Die entstande umgeformteGleichung wird in die andere Gleichung eingesetzt, um eine Gleichung mit nur einer Unbekannten zu erhalten.
Beim Einsetzungsverfahren wird eine der Gleichungen nach einer Unbekannten aufgelöst und in die andere Gleichung eingesetzt. Dadurch entsteht eine Gleichung mit einer Unbekannten, die gelöst werden kann.
Ein Lineares Gleichungssystem hat nicht immer genau eine Lösung. Es kann auch unendlich viele Lösungen haben, wobei die Unbekannten voneinander abhängig sind. Wenn Gleichungen widersprüchlich sind, hat das Gleichungssystem keine Lösung.
Mit linearen Gleichungssystemen kannst du kompexe Probleme effizient und methodisch lösen. In den meisten Klassenarbeiten kommen deshalb auch Textaufgaben vor, bei denen du anhand des Aufgabentextes Gleichungen aufstellen und das resultierende Gleichungssystem lösen sollst.